三角函数公式记不住？谐音+联想记忆法，考场直接套不卡壳

【来源：易教网 更新时间：2026-08-22】

三倍角公式：谐音辅助，想忘都难

后台最近收到几十条同学的私信，吐槽三角函数板块简直是高中数学的“拦路虎”：公式又多又杂，背了半个月转头就忘，考试套公式的时候经常串，大题第一步化简就卡壳，一半的分都丢在这部分。今天就把大家最头疼的三倍角公式、和差化积、积化和差的全套记忆技巧整理出来，不用死记硬背，看完就能用。

首先说三倍角公式，一共三个，分别是正弦、余弦、正切的三倍角展开式，先把公式列出来：

正弦三倍角：\( \sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \)

余弦三倍角：\( \cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \)

正切三倍角：\( \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha} \)

很多同学一看到这三个式子就头大，尤其是正切的那个还带分式，记起来更费劲。其实用谐音联想的方法，记起来超级快。

你可以把正弦三倍角的公式记成“3块钱减4块3毛”：3块钱减4块3毛，相当于欠了1块3，数值是负的，谐音“正弦”，刚好对应公式里的正弦函数，后面的\( \sin^3\alpha \)就是\( \sin\alpha \)的3次方，刚好对应“3倍”的设定。

余弦三倍角的公式就反过来，记成“4块3毛减3块钱”，减完还剩1块3，谐音“余弦”，后面带的是\( \cos^3\alpha \)，刚好也是3次方，不会和正弦的搞混。

还有个更顺口的口诀，叫“山无司令”，谐音“三无四立”：三指的是三倍的\( \sin\alpha \)，无就是减号，四就是4倍的系数，立就是\( \sin\alpha \)的立方，刚好对应正弦三倍角的公式。余弦的三倍角就是反过来“司令无山”，谐音“四无三立”，4倍减3倍，刚好是余弦的三倍角展开。

这里一定要记清楚，正弦的三倍角公式里全部用正弦表示，余弦的全部用余弦表示，别到时候把函数名搞混了，丢分就太冤了。

要是你不想靠谐音，想自己推导也超级简单，就用我们最熟悉的和角公式推就行。

比如\( \sin3\alpha \)可以写成\( \sin(2\alpha+\alpha) \)，用和角公式展开就是\( \sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha \)，再把二倍角公式\( \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha \)、\( \cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha \)代进去，整理一下就是\( 3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \)，和给出的公式完全一致。

余弦的三倍角也是一样，\( \cos3\alpha=\cos(2\alpha+\alpha)=\cos2\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha\sin\alpha \)，代进去二倍角公式整理，就能得到\( 4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \)。

正切的三倍角就是正弦除以余弦，上下同除以\( \cos^3\alpha \)，就能得到\( \tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^3\alpha}{1-3\tan^2\alpha} \)。平时没事的时候自己推一遍，记得更牢，考试哪怕忘了也能现场推，根本不用怕。

和差化积&积化和差：掌握逻辑，化简直接省一半时间

除了三倍角公式，和差化积、积化和差也是三角函数里超实用的工具，很多同学做三角函数大题，第一步化简就卡壳，一堆\( \sin A+\sin B \)、\( \cos A-\cos B \)的形式，看着就头疼，用这两个公式转化一下，复杂度直接降一半。

先把这两个公式的对应关系理清楚，它们是互通的，记一组就能推另一组。首先是积化和差，就是把两个三角函数的乘积，转化成两个单角三角函数的和差，四个公式分别是：

\( \sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \)

\( \cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \)

\( \cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \)

\( \sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)] \)

你可以记个小规律：两个正弦相乘的结果前面带负号，剩下的三个积化和差公式结果都是正的，不会记混。

然后是和差化积，就是积化和差的逆运算，只要把积化和差公式里的\( \alpha+\beta \)设为\( x \)，\( \alpha-\beta \)设为\( y \)，反解出\( \alpha=\frac{x+y}{2} \)，\( \beta=\frac{x-y}{2} \)，代进去就能得到和差化积的四个公式：

\( \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \)

\( \sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \)

\( \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \)

\( \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \)

这里也有个小规律：同种函数相加（正加正、余加余），结果是2乘两个余弦；相减的情况（正减正、余减余）都是2乘两个正弦，唯独\( \cos x-\cos y \)的结果前面有个负号，你记的时候稍微留意一下就行。

平时做题的时候，要是看到题目里有\( \sin A+\sin B \)这种形式，直接套和差化积，变成两个三角函数相乘，会好算很多；要是看到两个三角函数相乘，比如\( \sin\alpha\cos\beta \)，就套积化和差，变成两个单角的正弦余弦相加相减，求值或者化简都方便。

尤其是大题里求三角函数的周期、单调性、最值的时候，用这两个公式转化一下，能省好多步骤，阅卷老师看着步骤清晰，分也给的痛快。

备考小建议：别和公式死磕，用熟练才是关键

很多同学怕考试的时候突然忘了公式，其实完全不用慌。这些公式都是用基础的三角恒等式推导出来的，你不用死记硬背，只要记清楚推导逻辑，哪怕真的忘了，现场花三分钟推一遍也能写出来。

平时做题的时候，遇到需要化简的三角函数题，别直接跳过，主动试着用和差化积、积化和差转化，用个三四次就自然记住了，比你抄十遍公式都管用。还有三倍角公式，平时做求值的题的时候，刻意用一用，用熟练了，考试的时候根本不用想，直接就能套。

之前也有同学跟我说，这些公式太杂了，记不住，总觉得是自己脑子笨。其实根本不是，记忆本来就有规律，你死记硬背当然忘得快，用点小技巧，比如谐音、联想，把公式和熟悉的东西联系起来，记起来就快了。而且这些公式都是相通的，你推导一遍，理解了逻辑，哪怕忘了也能现场写出来，根本不用怕。

备考的时候别总焦虑自己记不住，找对方法，啥都不是事儿。要是有啥数学问题，评论区留言就行，看到都会回。