高三数学知识点笔记整理(6)

【来源：易教网 更新时间：2026-10-23】

高三的同学们，是不是最近一看到三角函数里的α、π、2kπ就头大？上周后台有好几个同学留言说诱导公式背了七八遍还是混，做选择题的时候一个个推要花3分钟，大题又怕符号错丢分，太拖后腿了。今天把终边相关的5组核心公式全给大家捋明白，附带记忆技巧和高考考法，看完直接上手用，选填题遇到这类题直接秒选。

为啥你背了十遍诱导公式还是记不住？

很多同学死记硬背公式，背了忘忘了背，考试的时候看到陌生的角就慌，其实这五组诱导公式的逻辑非常清晰，搞懂了背后的推导逻辑，就算忘了公式也能现场推出来，根本不会错。很多同学记混本质上是只记了结果，不知道公式为啥成立，换个形式就懵，今天咱们就从根上把这五组公式搞透。

5组诱导公式逐一代入讲解，附推导逻辑

咱们先把题目里给出的5组公式逐一拆解，每组的逻辑都给你理清楚，以后就算忘了也能自己推。

公式一：终边相同的角，三角函数值相等

这组公式的表达式为：

\[ \sin(2k\pi+\alpha)=\sin\alpha \quad (k\in\mathbb{Z}) \]

\[ \cos(2k\pi+\alpha)=\cos\alpha \quad (k\in\mathbb{Z}) \]

\[ \tan(2k\pi+\alpha)=\tan\alpha \quad (k\in\mathbb{Z}) \]

\[ \cot(2k\pi+\alpha)=\cot\alpha \quad (k\in\mathbb{Z}) \]

这里的\( 2k\pi \)指的是α绕原点旋转了k整圈，k可以是正整数、负整数或者0，旋转整数圈之后，角的终边和α的终边完全重合，而三角函数的值是由终边位置决定的，和旋转的圈数无关，所以所有三角函数值都和α相等。

比如求\( \sin(\frac{13\pi}{6}) \)，就可以把\( \frac{13\pi}{6} \)拆成\( 2\pi+\frac{\pi}{6} \)，套这组公式直接得到\( \sin(\frac{13\pi}{6})=\sin(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2} \)，根本不需要额外背特殊角的大角度值。

公式二：π+α的三角函数值与α的关系

这组公式的表达式为：

\[ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha \]

\[ \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha \]

\[ \tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha \]

\[ \cot(\pi+\alpha)=\cot\alpha \]

\( \pi+\alpha \)相当于把α绕原点旋转了180度，终边和α关于原点对称，对应的坐标点\( (x,y) \)会变成\( (-x,-y) \)，而三角函数的定义是\( \sin\alpha=\frac{y}{r} \)，\( \cos\alpha=\frac{x}{r} \)，\( \tan\alpha=\frac{y}{x} \)，\( \cot\alpha=\frac{x}{y} \)，r是坐标点到原点的距离，旋转180度之后r不变，x和y都变成原来的相反数，所以sin和cos的分子都变号，结果就变号；

tan和cot的分子分母都变号，负负得正，结果不变。

举个例子，α是\( \frac{\pi}{6} \)，\( \pi+\alpha \)就是\( \frac{7\pi}{6} \)，\( \sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}=-\sin\frac{\pi}{6} \)，\( \cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\cos\frac{\pi}{6} \)，完全符合公式规律。

公式三：-α的三角函数值与α的关系

这组公式的表达式为：

\[ \sin(-\alpha)=-\sin\alpha \]

\[ \cos(-\alpha)=\cos\alpha \]

\[ \tan(-\alpha)=-\tan\alpha \]

\[ \cot(-\alpha)=-\cot\alpha \]

\( -\alpha \)相当于把α绕x轴翻转了180度，终边和α关于x轴对称，坐标点从\( (x,y) \)变成\( (x,-y) \)，r还是不变，所以sin的分子y变号，结果变号；cos的分子x不变，结果不变；tan和cot的分子或者分母变号，结果就变号。

比如α是\( \frac{\pi}{4} \)，\( -\alpha \)就是\( -\frac{\pi}{4} \)，\( \sin(-\frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sin\frac{\pi}{4} \)，\( \cos(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos\frac{\pi}{4} \)，代入公式完全成立。

公式四：π-α的三角函数值与α的关系

这组公式的表达式为：

\[ \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha \]

\[ \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha \]

\[ \tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha \]

\[ \cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha \]

这组公式不用单独死记，用前面公式二和公式三就能推导出来：\( \pi-\alpha \)可以写成\( \pi+(-\alpha) \)，套公式二的结果，\( \sin(\pi-\alpha)=\sin(\pi+(-\alpha))=-\sin(-\alpha) \)，再把公式三的\( \sin(-\alpha)=-\sin\alpha \)代入，负负得正就是\( \sin\alpha \)；

同理\( \cos(\pi-\alpha)=\cos(\pi+(-\alpha))=-\cos(-\alpha) \)，代入\( \cos(-\alpha)=\cos\alpha \)，结果就是\( -\cos\alpha \)，tan和cot的推导逻辑完全一致。

举个例子，α是\( \frac{\pi}{3} \)，\( \pi-\alpha \)就是\( \frac{2\pi}{3} \)，\( \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\frac{\pi}{3} \)，\( \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}=-\cos\frac{\pi}{3} \)，和推导结果完全一致。

公式五：2π-α的三角函数值与α的关系

这组公式的表达式为：

\[ \sin(2\pi-\alpha)=-\sin\alpha \]

\[ \cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha \]

\[ \tan(2\pi-\alpha)=-\tan\alpha \]

\[ \cot(2\pi-\alpha)=\cot\alpha \]

这组同样可以用前面的公式推导：\( 2\pi-\alpha \)可以写成\( 2\pi+(-\alpha) \)，套公式一和公式三的结果，\( \sin(2\pi-\alpha)=\sin(2\pi+(-\alpha))=\sin(-\alpha)=-\sin\alpha \)，\( \cos(2\pi-\alpha)=\cos(2\pi+(-\alpha))=\cos(-\alpha)=\cos\alpha \)，tan和cot同理推导即可。

比如α是\( \frac{\pi}{5} \)，\( 2\pi-\alpha \)就是\( \frac{9\pi}{5} \)，\( \sin\frac{9\pi}{5}=-\sin\frac{\pi}{5} \)，\( \cos\frac{9\pi}{5}=\cos\frac{\pi}{5} \)，代入数值验证也完全成立。

高考常考考法+避坑指南，别在符号上丢分

这五组公式是高考数学的必考点，每年选填题几乎都会考1道，偶尔会出现在三角函数大题的第一问化简里，考的频率非常高，常见的考法是给出一个超出特殊角范围的大角度，比如\( \sin(-\frac{19\pi}{3}) \)、\( \cos(\frac{17\pi}{4}) \)这类，需要套公式转化为特殊角的函数值再计算。

很多同学做这类题丢分，基本都踩在以下几个坑里：第一个是符号记混，最容易错的是\( \cos(\pi-\alpha) \)，很多同学记成\( \cos\alpha \)，记住\( \pi-\alpha \)对应的角在第二象限，cos在第二象限是负的，所以结果一定是负的；

第二个是tan和cot在\( \pi+\alpha \)的时候不变号，很多同学记成变号，本质上是忘了tan和cot是比值，分子分母都变号之后比值不变；

第三个是公式一里的k是整数，包括正整数、负整数和0，比如求\( \sin(-\frac{11\pi}{6}) \)，可以拆成\( -2\pi+\frac{\pi}{6} \)，k取-2的时候依然符合公式，不要以为k只能取正整数；

第四个是不要随便换函数名，\( \pi+\alpha \)的时候sin和cos的函数名是不变的，只有系数是\( \frac{\pi}{2} \)的奇数倍的时候才会互换函数名，别记混了。

1分钟记忆口诀，忘了公式也能现场推

要是实在记不住推导逻辑，记个万能口诀就行：“奇变偶不变，符号看象限”。这里的“奇偶”指的是α前面π的系数，系数是π的奇数倍的时候，sin和cos互换，tan和cot互换；系数是π的偶数倍的时候，函数名不变。

符号的话把α当成锐角，把整个角放到对应的象限里，看这个三角函数在该象限的符号，比如求\( \sin(\pi-\alpha) \)，α是锐角的话\( \pi-\alpha \)在第二象限，sin在第二象限是正的，所以结果就是正的\( \sin\alpha \)，根本不用背符号。

给大家练一道2022年全国甲卷的真题：求\( \sin(-\frac{11\pi}{6})+\cos(\frac{7\pi}{3}) \)的值。

第一步算\( \sin(-\frac{11\pi}{6}) \)，\( -\frac{11\pi}{6}+2\pi=\frac{\pi}{6} \)，套公式一得到\( \sin(-\frac{11\pi}{6})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} \)；

第二步算\( \cos\frac{7\pi}{3} \)，\( \frac{7\pi}{3}-2\pi=\frac{\pi}{3} \)，套公式一得到\( \cos\frac{7\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} \)，加起来结果就是1，整道题算下来不到10秒，比硬算快多了。

这五组公式是三角函数所有诱导公式的基础，后面的和角公式、差角公式、二倍角公式都会用到，现在把这几组记熟，后面学进阶内容的时候能省很多力气。平时做题的时候多套几次，形成肌肉记忆，看到带π的角第一反应就是拆成这几组的形式，转化完再计算，速度和正确率都能提上来。

要是有哪里看不懂，或者有其他的数学问题，后台留言就行，看到都会回。