三角函数的计算公式全解析

【来源：易教网 更新时间：2025-05-08】

一、前言

三角函数作为数学的重要分支，在物理、工程、计算机图形学等诸多领域都有着广泛应用。它看似公式繁多且复杂，但只要掌握了其本质规律，就能够发现这些公式之间存在着严密的内在联系和逻辑结构。本文将为您系统地介绍并详细解析各类三角函数计算公式，帮助您构建完整的知识体系。

二、两角和公式

1. 正弦加法公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)=sinAcosBcosAsinB

2. 余弦加法公式

cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

3. 正切加法公式

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1tanAtanB)

tan(A-B)=(tanAtanB)/(1+tanAtanB)

4. 余切加法公式

cot(A+B)=(cotAcotB1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotBcotA)

三、倍角公式

1. 正切倍角公式

tan2A=2tanA/(1tanA)

2. 正弦倍角公式

Sin2A=2SinAcosA

3. 余弦倍角公式

Cos2A=CosAsinA=2CosA1=12sinA

四、三倍角公式

1. 正弦三倍角公式

sin3A=3sinA4(sinA)

2. 余弦三倍角公式

cos3A=4(cosA)3cosA

3. 正切三倍角公式

tan3A=tanA tan(π/3 + A) tan(π/3 A)

五、半角公式

1. 正弦半角公式

sin(A/2)=√[(1cosA)/2]

2. 余弦半角公式

cos(A/2)=√[(1+cosA)/2]

3. 正切半角公式

tan(A/2)=√[(1cosA)/(1+cosA)] = (1cosA)/sinA = sinA/(1+cosA)

六、和差化积公式

1. 正弦和差化积

sinA + sinB = 2 sin[(A+B)/2] cos[(AB)/2]

sinA sinB = 2 cos[(A+B)/2] sin[(AB)/2]

2. 余弦和差化积

cosA + cosB = 2 cos[(A+B)/2] cos[(AB)/2]

cosA cosB = -2 sin[(A+B)/2] sin[(AB)/2]

七、积化和差公式

1. 正弦积化和差

sinA sinB = -1/2 [cos(A+B) cos(AB)]

2. 余弦积化和差

cosA cosB = 1/2 [cos(A+B) + cos(AB)]

3. 正弦余弦积化和差

sinA cosB = 1/2 [sin(A+B) + sin(AB)]

cosA sinB = 1/2 [sin(A+B) sin(AB)]

八、诱导公式

1. 基本诱导公式

sin(-A) = -sinA

cos(-A) = cosA

sin(π/2 A) = cosA

cos(π/2 A) = sinA

sin(π/2 + A) = cosA

cos(π/2 + A) = -sinA

sin(π A) = sinA

cos(π A) = -cosA

sin(π + A) = -sinA

cos(π + A) = -cosA

九、万能公式

1. 正弦万能公式

sinA = [2tan(A/2)] / {1 + [tan(A/2)]}

2. 余弦万能公式

cosA = {1 - [tan(A/2)]} / {1 + [tan(A/2)]}

3. 正切万能公式

tanA = [2tan(A/2)] / {1 - [tan(A/2)]}

十、其它公式

1. 线性组合公式

a sinA + b cosA = √(a + b) sin(A + c) （其中 tanc = b/a）

a sinA b cosA = √(a + b) cos(A c) （其中 tanc = a/b）

2. 平方恒等式

1 + sinA = (sin(A/2) + cos(A/2))

1 sinA = (sin(A/2) cos(A/2))

十一、周期函数公式

1. 基本周期公式

sin(2kπ + A) = sinA

cos(2kπ + A) = cosA

tan(2kπ + A) = tanA

cot(2kπ + A) = cotA

2. 加π公式

sin(π + A) = -sinA

cos(π + A) = -cosA

tan(π + A) = tanA

cot(π + A) = cotA

3. 负角公式

sin(-A) = -sinA

cos(-A) = cosA

tan(-A) = -tanA

cot(-A) = -cotA

十二、补角公式

1. π - A公式

sin(π - A) = sinA

cos(π - A) = -cosA

tan(π - A) = -tanA

cot(π - A) = -cotA

十三、对称公式

1. 2π - A公式

sin(2π - A) = -sinA

cos(2π - A) = cosA

tan(2π - A) = -tanA

cot(2π - A) = -cotA

十四、特殊角度公式

1. π/2 ± A公式

sin(π/2 + A) = cosA

cos(π/2 + A) = -sinA

2. 3π/2 ± A公式

sin(3π/2 + A) = -cosA

cos(3π/2 + A) = sinA

本文系统地整理了所有基础三角函数公式，通过深入理解这些公式之间的内在联系，您可以更加得心应手地应对各种三角函数问题。在学习过程中，建议结合具体实例进行练习，以加深对公式的理解和掌握。